勾股定理被称为“数学皇冠上的明珠”，其表述如下：Rt△ABC的三边a，b，c(c为斜边)，其长度关系有a+b=c。到高中，我们又学习到勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况，让我们对其本质有了更深刻的理解。勾股定理在世界各国古文明中其实都有独立发现，如中国古代很早就知道有“勾三股四弦五“，即3+4=5。古埃及人也曾用带13个结的绳子按下图方式去拉出一个直角，也有人坚称金字塔的底座的直角的构造也用了这个方法。
这个定理在西方因为是毕达哥拉斯首先证明出来的，所以被称之为毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯的故事我们有机会下次单独讲。勾股定理因其表达的精练、数学的形式美感和实用性，历来受数学研究者和爱好者的偏爱。其证明方法基本都是用到了面积法，去证明用a+b表示的面积，等于用c表示的面积。在众多数学爱好者中，年美国总统伽菲尔德也用一个图证明过勾股定理：以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上．
其证明过程如下：
而在众多证明方法中，欧几里得（公元前年左右）的证明方法是非常独特而奇妙的，也是现存最早有文字资料记载下来的。在《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形的面积之和”，具体证明方法如下：
（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.K
∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔCAD(SAS)，∵ΔFAB的面积等于a/2，ΔCAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积(即ΔCAD面积的2倍)=a(即ΔFAB面积的2倍)，
同理，矩形MLEB的面积=b.
∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
∴c=a+b。
用一个更直观的图可表示如下，相同颜色部分面积相等。
备注简介：欧几里得，古希腊数学家。雅典人。著有《原本》13卷，是世界上最早公理化的数学著作。欧几里得在这部书中，总结了前人的生产经验和研究成果，从公理和公设出发，用演绎法叙述几何学，其中还包括整数论的许多成果，如求两整数的最大公约数的“辗转相除法”。